応用数理研究部門（疋田 辰之）

About研究室について

組み合わせ論を探針に、双対性を見つける。

疋田研究室は、幾何学的表現論を研究しています。
数学や数理物理学では、一見まったく異なる数学的対象が等価になる「双対性」と呼ばれる現象が観察されていて、ミラー対称性や Langlands 双対性が有名です。
組み合わせ論の問題を探針として、その背後にある双対性のような現象を見つけることを、研究の目標の一つにしています。
グラフの彩色対称関数に関する Stanley-Stembridge 予想も証明しました。

Research研究テーマ

一見まったく異なる数学的対象が等価になる双対性の現象を、仮想的な応用先である組み合わせ論の問題を探針として見つけることを目標の一つにしています。同じものを別の数学的手法で計算することで、より具体的で非自明な主張が得られることもあります。

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シャッフル予想の位相幾何的解釈↗

シャッフル予想と呼ばれる二つの対称関数の間の等式を出発点に、A 型アファイン Springer ファイバーのホモロジーを用いた位相幾何的解釈を与えました。

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シンプレクティック双対性↗

シンプレクティック双対性のもとで、コホモロジー環という位相幾何的な対象と、座標環のある商という代数幾何的な対象が入れ替わる現象を発見しました。

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標準基底と最高ウェイト圏↗

代数幾何側の理解を深めるため、シンプレクティック特異点解消の同変連接層の導来圏に、表現論的な構造（最高ウェイト圏）を入れる予想を定式化しました。

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楕円標準基底↗

標準基底の理論の別方向への精密化として、トーリックハイパーケーラー多様体の場合に、楕円コホモロジーへの持ち上げを議論しています。

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